Mathematics 8th = ಗಣಿತ ಸ್ವಾಧ್ಯಾಯಮಾಲೆ 8 ನೇ ತರಗತಿ

Mathematics Std 8 =8 ನೇ ತರಗತಿ ಗಣಿತ ಸ್ವಾಧ್ಯಾಯಮಾಲೆ

ಸಂಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಲೇಖನ

ಶ್ರೀ. ದಿನೇಶ ಠಾಕೂರದಾಸ ಚವ್ಹಾಣ

ವಿಷಯ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಜಿ.ಪ.ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕನ್ನಡ ಶಾಲೆ ಬಬಲಾದ

1. ಪರಿಮೇಯ ಹಾಗೂ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ 1, 2, 3, ......

ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ 0, 1, 2, 3, ......

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ ........., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......

ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 1.1

1. ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿರಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆ ತೆಗೆಯಿರಿ.

i. 3/2, 5/2, −3/2
ii. 7/5, −2/5, −4/5
iii. −5/8, 11/8
iv. 13/10, −17/10
ಪರಿಹಾರ:
i. 3/2, 5/2, −3/2

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಮಾನದ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ii. 7/5, −2/5, −4/5

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಮಾನದ ಐದು ಸಮಾನ ಭಾಗ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

iii. −5/8, 11/8

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಮಾನದ ಎಂಟು ಸಮಾನ ಭಾಗ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

iv. 13/10, −17/10

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಮಾನದ ಹತ್ತು ಸಮಾನ ಭಾಗ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

2. ಕೊಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯನ್ನು ನೋಡಿ ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ಬರೆಯಿರಿ.

i. B ಬಿಂದು ಯಾವ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸುವುದು?

ii. 13/4 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ? ?
iii. D ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ 5/2 ಈ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಅಸತ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
ಇಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಲಾಮನವು ಸಮಾನವಾದ 4 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

i. B ಬಿಂದು O ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಡಬಡಿಗೆ 10ನೇ ಸಮಾನ ಭಾಗದ ಮೇಲಿದೆ.

∴ B ಬಿಂದು -10/4 ಎಂಬ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ii.

O ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಲಬದಿಗೆ 7ನೇ ಸ್ಥಾನದ ಮೇಲೆ C ಬಿಂದು ಇದೆ.

∴ 13/4 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗುವುದು.

iii. ಸತ್ಯ
D ಬಿಂದು O ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಬದಿಗೆ ಸಮಾನ 10ನೇ ಮೂಲಮಾನದ ಮೇಲೆ ಇದೆ.

∴ D ಬಿಂದು 10/4 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

∴10/4=5×2/2×2=5/2

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 1.2

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿಯ ಚಿಕ್ಕತನ-ದೊಡ್ಡತನ ನಿಶ್ಚಯಿಸಿರಿ.

i. -7, -2

ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಧನಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿರುತ್ತದೆ.

+2 < +7 , ∴ -2 > -7

ii. 0, −95 -95 ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ∴ 0 > −95

iii. 87, 0 ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ 87 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಬದಿಗೆ ಇದೆ.

∴ 87 > 0

iv. −54, 14

ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಧನಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ.

∴ −54 < 14

v. 4029,14129 ಎರಡೂ ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದು ಸ್ಥಾನಿಕ ಬೆಲೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿದೆ.

40 < 141

∴ 4029 < 14129

vi. −1720, −1320

ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲಿ, ಧನ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲಿ ಏಡಬದಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಲಬದಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಯಾವಾಗಲೂ ಚಿಕ್ಕದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ.

∴ -17 < -13
∴ −1720 <− 1320

vii. 15/12, 7/16

ಇಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಛೇದ ಸಮಾನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

12 ಮತ್ತು 16 ರ ಲ.ಸಾ.ವಿ. 48

viii. 25/8, 9/4

ಇಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಛೇದ ಸಮಾನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

8 ಮತ್ತು 4 ರ ಲ.ಸಾ.ವಿ. 8

ix. 12/15, 3/5

ಇಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಛೇದ ಸಮಾನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

15 ಮತ್ತು 5 ರ ಲ.ಸಾ.ವಿ. 15

x. −7/11, −3/4
ಇಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಛೇದ ಸಮಾನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

11 ಮತ್ತು 4 ರ ಲ.ಸಾ.ವಿ. 44

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 1.3

ಪ್ರ. 1. ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಾಂಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
i.      93/7
ii.     18/42
iii.    9/14
iv.    −103/5
v.     −11/13
ಉತ್ತರಗಳು: i.   93/7

ii. 18/42

iii. 9/14

iv. −103/5

v. −11/13

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 1.4

1. √2 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಆಧಾರದಿಂದ √3 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲು ಕೆಳಗೆ ಕೃತಿಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಆ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿಯ ಬಿಟ್ಟ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಯೋಗ್ಯ ರೀತಿಯಿಂದ ತುಂಬಿರಿ. ಮತ್ತು ಕೃತಿ ಪೂರ್ಣ ಮಾಡಿರಿ.

ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲಿನ Q ಈ ಬಿಂದು √2 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

* Q - ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒ೦ದು ಲ೦ಬ ರೇಖೆ ತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಆ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ 1 ಮೂಲಮಾನ ಉದ್ದಳತೆ ತೋರಿಸುವ ಬಿ೦ದು R ಇದೆ.

• OR ಮೋಡಿಸುವ ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನORQ ಈ ಕಾಟಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ದೊರೆಯುವದು.

• l(OQ) = √2 l(QR) = 1

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಥಾಗೋರಸನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕನುಸರಿಸಿ

[OR]² = [OQ]² + [QR]²

......... (OR ದ ಉದ್ದಳತೆ 3 ರ ಮಾರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆಯಲಾಗಿ)

OR ದಷ್ಟು ಅಂತರ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು ತೆಗೆದ ಕಂಸ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಗೆ ಯಾವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವದು. ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ C ಹೆಸರು ಇಡೋಣ. C ಈ ಬಿಂದು √3 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

2. ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ √5 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆ ತೆಗೆದು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ Q ಬಿಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

l(OQ) = 2 ಮೂಲಮಾನಗಳು.

Q ಬಿಂದುವಿಗೆ ಲಂಬ ಮತ್ತು lQR) = 1 ಮೂಲಮಾನ ಆಗುವಂತೆ ಲಂಬ ಎಳೆಯೋಣ.
ಕರ್ಣ OR ಜೋಡಿಸೋಣ.

∆OQR ಎಂಬ ಕಾಟಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ತಯಾರಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಥಾಗೋರಸನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ,
[l(OR)]² = [l(OQ)]² + [l(QR)]²
       = 2² + 1²
  = 4 + 1
  = 5
∴ l(OR) = √5 ಮೂಲಮಾನಗಳು    .............(OR ದ ಉದ್ದಳತೆ 5 ರ ಮಾರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆಯಲಾಗಿ)

ಬಿಂದು O ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಹಾಗೂ ತ್ರಿಜ್ಯ OR ಒಂದು ಕಂಸRC ಎಳೆಯೋಣ. ಬಿಂದು C √5 ಮೂಲಮಾನ ತೋರಿಸುವುದು.

3. ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ √7 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆ ತೆಗೆದು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ Q ಬಿಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

l(OQ) = 2 ಮೂಲಮಾನಗಳು.

Q ಬಿಂದುವಿಗೆ ಲಂಬ ಮತ್ತು lQR) = 1 ಮೂಲಮಾನ ಆಗುವಂತೆ ಲಂಬ ಎಳೆಯೋಣ.
ಕರ್ಣ OR ಜೋಡಿಸೋಣ.

∆OQR ಎಂಬ ಕಾಟಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ತಯಾರಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಥಾಗೋರಸನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ,
[l(OR)]² = [l(OQ)]² + [l(QR)]²
          = 2² + 1²
           = 4 + 1
           = 5
∴l(OR) = √5 ಮೂಲಮಾನಗಳು    .............(OR ದ ಉದ್ದಳತೆ 5 ರ ಮಾರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆಯಲಾಗಿ)

ಬಿಂದು O ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಹಾಗೂ ತ್ರಿಜ್ಯ OR ಒಂದು ಕಂಸRC ಎಳೆಯೋಣ. ಬಿಂದು C √5 ಮೂಲಮಾನ ತೋರಿಸುವುದು.
ಅದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಗೆ C ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಲಂಬCD ಎಳೆಯೋಣ. ರೇಷೆCD = 1 ಮೂಲಮಾನ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.