Mathematics 8th = ಗಣಿತ ಸ್ವಾಧ್ಯಾಯಮಾಲೆ 8 ನೇ ತರಗತಿ

 

Mathematics Std 8 =8 ನೇ ತರಗತಿ ಗಣಿತ ಸ್ವಾಧ್ಯಾಯಮಾಲೆ 

ಸಂಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಲೇಖನ 

ಶ್ರೀ. ದಿನೇಶ ಠಾಕೂರದಾಸ ಚವ್ಹಾಣ 

ವಿಷಯ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಜಿ.ಪ.ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕನ್ನಡ ಶಾಲೆ ಬಬಲಾದ 

1. ಪರಿಮೇಯ ಹಾಗೂ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ 1, 2, 3, ......

ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ 0, 1, 2, 3, ......

ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ ........., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......

ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ

 

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 1.1

1.  ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿರಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆ ತೆಗೆಯಿರಿ.

i. 3/2, 5/2, −3/2
ii. 7/5, −2/5, −4/5
iii. −5/8, 11/8
iv. 13/10, −17/10
ಪರಿಹಾರ:
i. 3/2, 5/2, −3/2
 

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಮಾನದ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ii. 7/5, −2/5, −4/5

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಮಾನದ ಐದು ಸಮಾನ ಭಾಗ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

iii. −5/8, 11/8

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಮಾನದ ಎಂಟು ಸಮಾನ ಭಾಗ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

iv. 13/10, −17/10

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಮಾನದ ಹತ್ತು ಸಮಾನ ಭಾಗ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

2. ಕೊಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯನ್ನು ನೋಡಿ ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ಬರೆಯಿರಿ.

i. B ಬಿಂದು ಯಾವ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸುವುದು?

ii. 13/4 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ? ?
iii. D ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ 5/2 ಈ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಅಸತ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
ಇಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಲಾಮನವು ಸಮಾನವಾದ 4 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

i. B ಬಿಂದು O ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಡಬಡಿಗೆ 10ನೇ ಸಮಾನ ಭಾಗದ ಮೇಲಿದೆ.

∴ B ಬಿಂದು -10/4 ಎಂಬ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ii.  

 

O ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಲಬದಿಗೆ 7ನೇ ಸ್ಥಾನದ ಮೇಲೆ C ಬಿಂದು ಇದೆ. 

∴ 13/4  ಈ ಸಂಖ್ಯೆ C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗುವುದು.

iii. ಸತ್ಯ
D ಬಿಂದು O ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಬದಿಗೆ ಸಮಾನ 10ನೇ ಮೂಲಮಾನದ ಮೇಲೆ ಇದೆ.

∴ D ಬಿಂದು 10/4 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.  

∴10/4=5×2/2×2=5/2

  

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 1.2

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿಯ ಚಿಕ್ಕತನ-ದೊಡ್ಡತನ ನಿಶ್ಚಯಿಸಿರಿ.

i. -7, -2

ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಧನಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿರುತ್ತದೆ.

+2 < +7 ,    ∴ -2 > -7

ii. 0, −95    -95 ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ∴ 0 > −95

iii. 87, 0    ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ 87 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಡಬದಿಗೆ ಇದೆ.

              ∴ 87 > 0

iv. −54, 14

              ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಧನಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ.    

              ∴ −54 < 14

 v. 4029,14129   ಎರಡೂ ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದು ಸ್ಥಾನಿಕ ಬೆಲೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿದೆ.

                40 < 141

              ∴ 4029 < 14129

vi. −1720, −1320

              ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲಿ, ಧನ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲಿ ಏಡಬದಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಲಬದಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಯಾವಾಗಲೂ ಚಿಕ್ಕದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ.

              ∴ -17 < -13 
              ∴ −1720 <− 1320

vii.  15/12, 7/16 

       ಇಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಛೇದ ಸಮಾನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

       12 ಮತ್ತು 16 ರ ಲ.ಸಾ.ವಿ. 48

viii.   25/8, 9/4

       ಇಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಛೇದ ಸಮಾನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

       8 ಮತ್ತು 4 ರ ಲ.ಸಾ.ವಿ. 8

ix.  12/15, 3/5 

       ಇಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಛೇದ ಸಮಾನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

       15 ಮತ್ತು 5 ರ ಲ.ಸಾ.ವಿ. 15 

x. −7/11, −3/4
       ಇಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಛೇದ ಸಮಾನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

       11 ಮತ್ತು 4 ರ ಲ.ಸಾ.ವಿ. 44

 

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 1.3

 

ಪ್ರ. 1. ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಾಂಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
i.      93/7
ii.     18/42
iii.    9/14
iv.    −103/5
v.     −11/13
ಉತ್ತರಗಳು: i.   93/7
  

ii. 18/42

iii. 9/14

  

iv. −103/5

v. −11/13

   

  

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 1.4

1.  √2 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಆಧಾರದಿಂದ √3 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲು ಕೆಳಗೆ ಕೃತಿಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಆ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿಯ ಬಿಟ್ಟ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಯೋಗ್ಯ ರೀತಿಯಿಂದ ತುಂಬಿರಿ. ಮತ್ತು ಕೃತಿ ಪೂರ್ಣ ಮಾಡಿರಿ.

 

ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಯ ಮೇಲಿನ Q ಈ ಬಿಂದು  √2 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

* Q - ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒ೦ದು ಲ೦ಬ ರೇಖೆ ತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ.

  ಆ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ 1 ಮೂಲಮಾನ ಉದ್ದಳತೆ ತೋರಿಸುವ ಬಿ೦ದು R ಇದೆ.

• OR ಮೋಡಿಸುವ ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನORQ ಈ ಕಾಟಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ದೊರೆಯುವದು.

• l(OQ) = √2    l(QR) = 1

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಥಾಗೋರಸನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕನುಸರಿಸಿ

          [OR]² = [OQ]² + [QR]²

 

                                ......... (OR ದ ಉದ್ದಳತೆ 3 ರ ಮಾರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆಯಲಾಗಿ)

OR ದಷ್ಟು ಅಂತರ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು ತೆಗೆದ ಕಂಸ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಗೆ ಯಾವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವದು. ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ C  ಹೆಸರು ಇಡೋಣ.  C ಈ ಬಿಂದು √3 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

2. ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ √5 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆ ತೆಗೆದು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ Q ಬಿಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

l(OQ) = 2 ಮೂಲಮಾನಗಳು.

Q ಬಿಂದುವಿಗೆ ಲಂಬ ಮತ್ತು lQR) = 1 ಮೂಲಮಾನ ಆಗುವಂತೆ ಲಂಬ ಎಳೆಯೋಣ.
ಕರ್ಣ OR ಜೋಡಿಸೋಣ.

∆OQR ಎಂಬ ಕಾಟಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ತಯಾರಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಥಾಗೋರಸನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ,
[l(OR)]² = [l(OQ)]² + [l(QR)]²
              = 2² + 1²
              = 4 + 1
              = 5
∴ l(OR) = √5 ಮೂಲಮಾನಗಳು    .............(OR ದ ಉದ್ದಳತೆ 5 ರ ಮಾರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆಯಲಾಗಿ)

ಬಿಂದು O ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಹಾಗೂ ತ್ರಿಜ್ಯ OR ಒಂದು ಕಂಸRC ಎಳೆಯೋಣ. ಬಿಂದು C √5 ಮೂಲಮಾನ ತೋರಿಸುವುದು.

3.  ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ √7 ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ತೋರಿಸಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆ ತೆಗೆದು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ Q ಬಿಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

l(OQ) = 2 ಮೂಲಮಾನಗಳು.

Q ಬಿಂದುವಿಗೆ ಲಂಬ ಮತ್ತು lQR) = 1 ಮೂಲಮಾನ ಆಗುವಂತೆ ಲಂಬ ಎಳೆಯೋಣ.
ಕರ್ಣ OR ಜೋಡಿಸೋಣ.

∆OQR ಎಂಬ ಕಾಟಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ತಯಾರಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಥಾಗೋರಸನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ,
[l(OR)]² = [l(OQ)]² + [l(QR)]²
          = 2² + 1²
           = 4 + 1
           = 5
∴l(OR) = √5 ಮೂಲಮಾನಗಳು    .............(OR ದ ಉದ್ದಳತೆ 5 ರ ಮಾರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆಯಲಾಗಿ)

ಬಿಂದು O ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಹಾಗೂ ತ್ರಿಜ್ಯ OR ಒಂದು ಕಂಸRC ಎಳೆಯೋಣ. ಬಿಂದು C √5 ಮೂಲಮಾನ ತೋರಿಸುವುದು.
ಅದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾರೇಷೆಗೆ C ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಲಂಬCD ಎಳೆಯೋಣ. ರೇಷೆCD = 1 ಮೂಲಮಾನ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.  

ಈಗ ಕಾಟಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ODC ಯಲ್ಲಿ, ಪಾಯಥಾಗೋರಸನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ,
[l(OD)]² = [l(OC)]² + [l(CD)]²
               = (√5)² + 1²

               = 5 + 1

               = 6

∴ l(OR)   = √6 ಮೂಲಮಾನಗಳು    ......... (ODಯ ಉದ್ದಳತೆ  6 ರ ಮಾರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆಯಲಾಗಿ)

 

ಅದರಂತೆ, EP ಲಂಬ OE ತೆಗೆಯೋಣ, ಬಿಂದು E ಮೇಲೆ √6 ಮೂಲಮಾನಗಳು ಇದೆ.

l(EP) = 1 ಮೂಲಮಾನ

ಈಗ ಕಾಟಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ OPE ದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಥಾಗೋರಸನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ,
[l(OP)]² = [l(OE)]² + [l(EP)]²
              = (√6)² + 1²

              =   6 + 1

              =   7

∴l(OP)   = √7 ಮೂಲಮಾನಗಳು    ......... (OP ಯ ಉದ್ದಳತೆ 7 ರ ಮಾರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆಯಲಾಗಿ)

 

2. ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆ ಹಾಗೂ ಛೇದಿಕೆ

ಛೇದಿಕೆ:  ಯಾವುದೊಂದು ರೇಖೆ ಕೊಟ್ಟ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಿಕೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

       

ಛೇದಿಕೆಯಿಂದ ತಯಾರಾಗುವ ಕೊನಗಳು: ಮೇಲಿನ ಆಕೃತಿಗಳಂತೆ ಎರಡು ರೇಷೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೊಂದು ರೇಖೆಯಿಂದ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಒಟ್ಟು 8 ಕೊನಗಳು ತಯಾರಾಗುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ:-

*ಸಂಗತ ಕೊನಗಳು (Corresponding Angles)

* ಆಂತರ ಕೊನಗಳು (Interior Angles)  

* ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮ ಕೊನಗಳು (Alternate Angels)

ಉದಾಹರಣ ಸಂಗ್ರಹ 2.1

1. ಬದಿಯ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನೋಡಿರಿ. ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೇಲಿಂದ ಬಿಟ್ಟ ಚೌಕೊನಗಳನ್ನು ತುಂಬಿರಿ.

                            * ಸಂಗತ ಕೊನಗಳ ಜೋಡಿಗಳು

                             1) ∠p ಹಾಗೂ∠w         2) ∠q ಹಾಗೂ∠x

                       3) ∠r ಹಾಗೂ ∠y        4) ∠s ಹಾಗೂ ∠z

                            * ಆಂತರ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮ ಕೊನಗಳ ಜೋಡಿಗಳು

                     1)     ∠s ಹಾಗೂ ∠x    2) ∠w ಹಾಗೂ∠r

2. ಬದಿಯ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ಕೊನಗಳನ್ನು ನೋಡಿರಿ. ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ದರ್ಶಿಸುವ ಕೊನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. 

   ಉತ್ತರ:    1) ಆಂತರ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮ ಕೊನಗಳು

∠b ಮತ್ತು ∠h ,     ∠c ಮತ್ತು ∠e

            2) ಸಂಗತ ಕೊನಗಳು

∠a ಮತ್ತು ∠e ;    ∠c ಮತ್ತು ∠g ;     ∠d ಮತ್ತು ∠h ;    ∠b ಮತ್ತು ∠f

          3) ಅಂತರ ಕೊನಗಳು 

∠b ಮತ್ತು ∠e ಮತ್ತು ∠c ಮತ್ತು ∠h ಇವು ಅಂತರಕೋನಗಳು ಆಗಿವೆ. 

ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆ ಹಾಗೂ ಛೇದಿಕೆ ಇವುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಕೊನಗಳು ಹಾಗೂ ಅವುಗಳ ಗುಣಧರ್ಮಗಳು:

1)    1)  ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಛೇದಿಕೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಎಂಟು ಕೋನಗಳು ತಯಾರಾಗುವವು. ಈ ಎಂಟು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೋನದ ಅಳತೆ ಕೊಟ್ಟರೆ, ಉಳಿದ ಏಳು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯಲು ಬರುತ್ತದೆ.

2)   ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಗತ ಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿಯ ಕೋನಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಎಕರೂಪ ಇರುತ್ತವೆ.

                                      ರೇಖೆ PQ ∥ ರೇಖೆ RS

                                      ರೇಖೆ AB ಇದು ಅವುಗಳ ಛೇದಿಕೆ ಇದೆ.

                                     ಸಂಗತ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳು

                                      ∠AMP ≅ ∠MNR , ∠PMN ≅ ∠RNB

                                      ∠AMQ ≅ ∠MNS, ∠QMN ≅ ∠SNB              

 3)   ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮ ಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿಯ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಎಕರೂಪ ಇರುತ್ತವೆ.

        ಅಂತರವ್ಯುತ್ಕ್ರಮ ಕೋನ                 ಬಾಹ್ಯವ್ಯುತ್ಕ್ರಮ ಕೋನ              

               ∠PMN ≅∠MNS                      ∠AMP ≅∠SNB

              ∠QMN ≅∠MNR                     ∠AMQ ≅∠RNB

ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಅಂತರ ಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿಯ ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಬೇರೀಜು 180⁰ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಆ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಇರುತ್ತವೆ.

 ಅಂತರಕೋನಗಳು  m∠PMN + m∠MNR = 180°

                   m∠QMN + m∠MNS = 180°           

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಗ್ರಹ 2.2

1.   1) ಬದಿಯ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆ AB ∥ ರೇಖೆ PQ    ಹಾಗೂ ರೇಖೆ LM ಇದು ಛೇದಿಕೆ ಇದೆ. m∠MNQ = 700 ಇದ್ದರೆ, m∠AON ದ ಅಳತೆ ತೆಗೆಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: ಪದ್ಧತಿ 1

m∠MNQ = m∠ONP=70°.....(ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳು)

m∠􀂑AON+ m∠ONP=180° ....(ಆಂತರ ಕೋನ)

∴m∠AON = 180° - m∠ONP

 ∴           = 180° - 70°

∴            = 110°

ಪದ್ಧತಿ 2

m∠MNQ = 70°

m∠NOB=70°....(ಸಂಗತ ಕೋನಗಳು)

m∠AON + m∠NOB = 180°      .......ರೇಖಿಯ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳು

∴m∠AON + 70° = 180°

∴ m∠AON  = 110°

 2. ಯೋಗ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ ಆರಿಸಿರಿ.

        (1) ಬದಿಯ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆ m ∥ರೇಖೆ n ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆ p ಇದು ಅವುಗಳ ಛೇದಿಕೆ x ದ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

A) 135⁰       B) 90⁰       C) 45⁰       D) 40⁰

ಉತ್ತರ: ಕೊಟ್ಟ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೋನ x ಮತ್ತು  ಕೋನ 3x ಇವು ಆಂತರಕೋನಗಳು ಇವೆ.

ಆಂತರಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಬೇರೀಜು 180⁰ ಇರುತ್ತದೆ.

∴  m∠x + m∠3x =180

∴ 4x = 180     ................ ಎರಡೂ ಬದಿಗೆ 4ರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಲಾಗಿ

∴  x = 180/4

∴ x = 45⁰

3x = 3 X45 = 135⁰

ಉತ್ತರ: A)

2) ಬದಿಯ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆ   a ∥ ರೇಖೆ b ಇದ್ದು ಮತ್ತು ರೇಖೆ l ಇದು ಅವುಗಳ ಛೇದಿಕೆ ಇದ್ದರೆ x ದ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

A) 90⁰       B) 60⁰       C) 45⁰       D) 30⁰ 

ಉತ್ತರ: